מושגים מתימטיים בעולם האגחים
אני יודע כי אני "חייב" מספר פרסומים אחרים. אך הפירסום הבא הוא פירסום מעניין (לדעתי) ושלא דורש ממני הרבה מאמץ - לכן החלטתי להקדים ולפרסמו.
רבים בבואם לפתור בעיות מתימטיות, מפסיקים לחשוב ומחפשים "נוסחאות" שיבואו לעזרם (או לחילופין - פשוט מפסיקים). אשם גדול מאוד מכך נופל על כתפי מערכת החינוך שמעבירה את הנושא (המרתק בעיני) בצורה שבלונית משעממת ומרתיעה. מתימטיקה בצורה פשטנית היא פורמליסטיקה של ההגיון. בבואכם לפתור בעייה מתימטית, ברוב המקרים אם תגדירו את הבעייה בהיגיון, לא תתקשו לפתור אותה. בעקבות שאלה של Yoadw על מהות המושג "משוואת סיכון-סיכוי" החלטתי להציג בפניכם מעט פורמליסטיקה של עולם אגחים - המסקנות שמתקבלות מהפורמליסטיקה הן מעניינות למדי.
החומר מובא בצורה "חצי רשמית". מצד אחד, השתדלתי לא להרתיע עם יותר מדי סמנטיקה ומצד שני, השתדלתי לשמור על דיוק הגדרתי (בהצלחה חלקית מאוד - עלי לציין). עם זאת, אין זה חומר "קליל" ומי שירצה להבין את אשר נאמר, יצטרך כנראה לעשות מאמץ.
האדיטור מאוד רע עם מתימטיקה - אשתדל לכתוב ברור ככל שניתן.
תוחלת של אגח לפדיון:
תוחלת של אגח לפדיון היא הערך הסביר ביותר לשווי האגח בפדיון. כלומר?
לצורך פשטות, נניח כי פדיון האגח נעשה בתשלום אחד - קרן וריבית (ניתן להרחיב את הדיון - אך איני מחפש את המתימטיקה, אלא את העיקרון). כל אגח באשר הוא ייפדה בסופו של יום בתחום 0-130 אגורות (130 הוא סתם הנחה - לכל אגח יש ערך סופי לפדיון) לע.נ.
אם f(x היא הפונקציית המגדירה את ההסתברות שהאגח ייפדה בשווי x (למעשה - מבחינה מתימטית, f היא פונקציית "צפיפות הסתברות"), אזי התוחלת של האגח היא:האינטגרל על x מ-0 עד 130 של f(x)*x*dx
לכל אלו שזוהי סינית עבורם, ניתן לפשט מעט את הביטוי ולקרב אותו אל העולם הרציף לבדיד:
אם p(n היא הפונקצייה המגדירה את ההסתברות שהאגח ייפדה בתחום n : n+1, אזי התוחלת של האגח לפדיון היא:סכום על n מ-0 עד 129 של p(n)*n
ואם עדיין לא make sense עבורכם, ניתן לפשט את זה לרמה הבאה:
נניח שישנם 1..n אופציות אפשריות לפדיון האגח עבורן מתקיים:
האופצייה ה-m: בהסתברות rm ובה הפדיון Xm
אזי תוחלת האגח לפדיון תהייה r1*X1+r2*X2+r3*X3+...+rn*Xn.
תוחלת שווי סחירה של אגח:
נגדיר כי תוחלת אגח לפדיון היא Ep, האגח הוא בעל מח"ם n והתשואה אותה אנו מבקשים על הסיכון שאנו לוקחים באגח (הגדרה אישית) היא a. אזי, ע"פ כללי ההיוון (שהוגדרו בפרסום על שווי סחיר של אגח), E, תוחלת השווי הסחירה של האגח היא: Ep לחלק [ל-(1+a) בחזקת n].
משוואת הסיכוי סיכון:
תהי E תוחלת שווי סחירה של אגח ויהי R השווי הסחיר של אותו אגח, אזי "משוואת הסיכון סיכוי" המיוצגת באמצעות משתנה v היא v=E/R. ככל שהמספר v גבוה יותר, כך משוואת הסיכוי-סיכון טובה יותר.
בועה באגח:
בכל מקום ע"פ כדור הארץ ערך הכסף יורד (אינפלצייה). בועה באגח הוא מצב בו "משוואת הסיכוי סיכון" של האגח נמוכה מ: 1+אינפלצייה. ככל שהמספר יותר נמוך, כך הבועה גדולה יותר. כלומר, אם יוגדר משתנה v כ"משוואת הסיכוי סיכון" ו-r יוגדר כאינפלצייה הצפוייה, אזי מצב בועתי מוגדר כ-v < 1+r
לדעתי כיום, כל התל-בונדים למיניהם (והאגחים הממשלתיות) עונים להגדרה זו (ולכן מי שנמצא שם - לדעתי, שם את כספו על קרן הצבי).
הטייה/סטייה מיופית:
עד לפני מספר שנים התיאורייה המקובלת בשוק היתה ששוק ההון הוא שוק ראציונאלי, הווה אומר שוק משוכלל של מליוני שחקנים המתקן את העיוותים של עצמו. כמובן שכל מקצוען בשוק ההון יודע שאין זה כך, אך בעלי המקצוע בתחום לא נתנו לעובדות לבלבל אותם לרגע. לפני מספר שנים יצאה תיאורייה כלכלית חדשה (שמנסחיה זכו לפרס נובל על העבודה - האם ראוי לזכות בפרס נובל, על ניסוח תיאורייה שכל מקצוען בשוק ההון מכיר?). מעולם לא קראתי את עבודתם אך האלמנט העומד בבסיסה הוא ההטייה המיופית. מה היא בעצם אומרת?
למשקיע הממוצע כואב להפסיד אחוזים מהשקעתו יותר מההנאה הנגרמת לו מרווח של אחוזים זהים מהשקעתו.
אם ננסח את הדבר מתימטית:
אם יוגדר x כמשתנה סיכון ועבורו יוגדר v(x כ"משוואת הסיכון-סיכוי" האופיינית של אגח בסיכון x אזי v(x היא פונקצייה חיובית עולה, כאשר v(0 היא הריבית חסרת הסיכון. למי שחובב מתימטיקה, ניתן לכתוב v(0)>0, dv/dx>0.
זוהי תיאורייה שלדעתי קרובה למציאות. אלא מהי?
לדעתי בעולם הקיים היום היא מתקיימת רק בקירוב. מדוע אני אומר זאת?
ניתן לקבל בפקדונות ריבית ריאלית חיובית, בעוד לדעתי האגרות חוב הבטוחות הינן בועה. כלומר, קיימת רמת סיכון ra עבורה מתקיים v(ra)<v(0 (או מתימטית קיים תחום קיום ל-x עבורו dv/dx < 0).
הדבר המדהים שמתקבל כמסקנה מתיאורייה זו (בהנחה שהיא נכונה - אני חושב שכן) עבור שוק האגח היא כדלקמן:
אם ההטייה המיופית מתקיימת בשוק האגח ובנוסף אנו מניחים כי מתקיימת בקירוב קורלצייה ליניארית בין הסיכון לתשואה המתקבלת על אגח בשוק (רוצה לאמר - ניירות הנסחרים בריבית דומה משקפים סיכון דומה), אזי תיק האגח הסולידי ביותר יהייה מורכב מקבוצת איגרות החוב המסוכנות ביותר בשוק!!!
סטיית תקן וסטיית תקן מנומלת:
סטיית תקן הוא מושג הסתברותי/סטטיסטי המאפיין משתנים אקראיים. ראשית אגדיר אותו מתימטית ואסביר אותו בצורה אינטואיטיבית. יהי אגח AA בעל שווי סחיר (תלוי זמן) X(t (זהו תהליך אקראי - משתנה אקראי תלוי זמן) ויהי E(AA תוחלת השווי הסחיר של אגח AA על אינסוף זמן. אזי st(AA, סטיית התקן של אגח AA, תוגדר כשורש של {האינטגרל על זמן הקיום של אגח AA, של הפונקצייה [X(t)-E] בריבוע}.
למי שזוהי סינית עבורו, ניתן לפשט ולאמר שעבור אגח נורמלי (ולא נגדיר "נורמלי"):
מאפיין ראשון: הסיכוי למצוא את אגח AA בתחום הסחיר E(AA)-st(AA) : E(AA)+st(AA הוא 70%
מאפיין שני: הסיכוי למצוא את אגח AA בתחום הסחיר E(AA)-2st(AA) : E(AA)+2st(AA הוא 90%
מאפיין שלישי: הסיכוי למצוא את אגח AA בתחום הסחיר E(AA)-3st(AA) : E(AA)+3st(AA הוא 99%
כיוון שסטיית תקן היא ביחידות של נכס הבסיס, סטיית התקן המנורמלת Nst(AA תוגדר: Nst(AA)=st(AA)/E(AA
כלל ידוע הוא שככל שעולה הסיכון של נכס פיננסי, כך עולה התנודתיות שלו ולכן עולה סטיית התקן שלו (סטיית התקן היא מדד תנודתיות מקובל). כלומר אם x הוא משתנה המייצג סיכון ו-Nst(x היא סטיית תקן מנורמלת אופיינית לאגח בסיכון x, אזי, בדומה ל"משוואת הסיכון סיכוי" v(x, אנו מקבלים ב-Nst(x פונקצייה עולה.
מה שמעניין לגבי Nst(x, הוא שעבור נכסים פיננסיים "בטוחים" (לדוגמא: איגרות חוב ממשלתיות ותל-בונד 20) סטיית התקן כמעט ואינה משתנה עם הסיכון. לעומת זאת, בקצה המסוכן של הסקלה, כל שינוי סיכון קטן גורר שינויים עצומים בסטיית התקן המנומלת.
ערך הוגן של אגח:
יהי E , תוחלת שווי סחיר של אגח AA. אם היינו מחזיקים באגח זה לאינסוף זמן, שוויו הסחיר היה מתכנס בסופו של יום ל-E. כיוון שאיננו דנים בהשקעות לאינסוף זמן, ככל שזמן ההשקעה מתקצר, כך גדל הסיכוי שהאגח AA לא יגיע בזמן זה ל-E. כיצד נשקלל את נתון הזמן?
אם התנודתיות של האגח AA מסומנת כ-st(AA, אזי אם ניקח מקדם b הקשור לזמן ההשקעה T (ו-b בזמן T אינסוף == 0), אזי ניתן להגדיר fE(AA ערך הוגן של אגח AA כ:fE(AA,b) = E(AA)-b*st(AA
משוואת הסיכוי סיכון משוקללת זמן:
יהי fE(b ערך הוגן של אגח עבור מקדם הזמן b ויהי R השווי הסחיר של אותו אגח, אזי "משוואת הסיכון סיכוי" משוקללת הזמן, המיוצגת באמצעות משתנה vc היא vc=fE(b)/R. או לחילופין, אם E היא תוחלת שווי סחיר של האגח, v משוואת הסיכוי סיכון שלו ו-Nst סטיית התקן המנורמלת שלו, אזי vc=v-b*Nst
כלומר, אם יוגדר x כמשתנה סיכון ועבורו יוגדרו הנתונים פונקצייה v(x כ"משוואת הסיכון-סיכוי" האופיינית של אגח בסיכון x, פונקציית vc(x כ"משוואת הסיכון-סיכוי" תלויית זמן האופיינית של אגח בסיכון x ופונקציית Nst(x כסטיית התקן המנורמלת האופיינית לאגח אופייני בסיכון x, אזי הקשר המתקבל הוא:vc(x) = v(x)-b*Nst(x
מה שכדאי לשים לב אליו, שבסיכון נמוך (אזור x=0) הפונקצייה v(x היא פונקצייה עולה והפונקצייה Nst(x כמעט קבועה ולכן באזור x=0, הפונקצייה vc(x עולה. מנגד, באזור סיכון גבוה (x שואף לאינסוף), סטית התקן המנורמלת (שגם היא פונקצייה עולה), עולה הרבה יותר מהר מ v(x ולכן באזור x שואף לאינסוף vc(x היא פונקצייה יורדת. ללא הוכחה, אספר לכם כי שתי תכונות אלו של פונקצייה vc(x מחייבות קיומו של x (במילים אחרות מחיבות קיומה של רמת סיכון) בה משוואת הסיכוי סיכון משוקללת הזמן מקבלת מקסימום.
ניתן גם להוסיף כי ניתן להוסיף פרמטר c המייצג את כישורי הסינון של המשקיע (ובכך מעלה את תוחלת האגח מסיכון x) או סיכום מתימטי:
vc משוואת הסיכוי-סיכון האופיינית משוקללת זמן (המיוצג ע"י פרמטר b) לאגח מסיכון x, הכוללת בתוכה כישורי סינון של משקיע פרטני (המיוצג ע"י פרמטר c) היא:vc(x) = c*v(x)-b*Nst(x
נקודת ה-SweetSpot:
בעקבות הדיון על ההטייה המיופית, אם אנו משקיעים לאין-סוף זמן ע"י בחירה אקראית של אגחים (ואם אנו מקבלים את המודל התיאורטי), טוב נעשה אם נבחר את כולם מהסקלה הקיצונית של התשואות (הכי מסוכנים), שכן - מהניתוח התקבל כי זהו התיק האקראי הסולידי ביותר.
עם זאת, אף אחד מאיתנו לא משקיע לאין סוף זמן ורובנו משקיעים תוך כדי ברירת אגחים. כיוון שכך, ע"פ הדיון במשוואת הסיכוי סיכון משוקללת זמן, ניתן להגיע למסקנה הבאה:
מסקנה 1: ע"פ זמן ההשקעה הצפוי וע"פ כישורי הניתוח של המשקיע, קיימת רמת סיכון אופטימלית להשקעה (נקודת ה-SweetSpot).
מחקרים בעולם מראים כי בזמן נורמלי (ואיננו שם כיום) תיקים פאסיביים אקראיים של אגחים מדירוג Baa1 ל-3 שנים משיגים את התוצאות האופטימליות למשקיע. אם נניח שאופק ההשקעה שלנו הוא כ-3 שנים ויכולת הסינון שלנו טובה מאקראית (סביר ...), אזי ניתן להגיע למסקנה שנייה:
מסקנה 2: נקודת ה-SweetSpot של משקיע אג"ח בעל יכולות ניתוח ואופק השקעה של 3 שנים נמצאת בדירוג השקעה נמוך מ-Baa1.
אציין גם שלהערכתי, בתקופת אנומלייה אותה אנו חווים, אני מעריך כי אזור ba3 הוא הסולידי ביותר לתקופה של 3 שנים בתנאים המוגדרים.
מקווה שלפחות חלקכם הגיע לפה (ומצא את החומר מעניין),
בברכה,
